МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Министерство образования и молодежной политики Свердловской области
Городской округ «город Ирбит» Свердловской области
МАОУ «Школа № 5 им. И.О. Родобольского»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
(ID 10207766)
учебного курса «Вероятность и статистика»
для обучающихся 7-9 классов
г. Ирбит, 2026 год
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В современном цифровом мире вероятность и статистика приобретают всё
большую значимость, как с точки зрения практических приложений, так и их
роли в образовании, необходимом каждому человеку. Возрастает число
профессий, при овладении которыми требуется хорошая базовая подготовка в
области вероятности и статистики, такая подготовка важна для продолжения
образования и для успешной профессиональной карьеры.
Каждый человек постоянно принимает решения на основе имеющихся у
него данных. А для обоснованного принятия решения в условиях недостатка или
избытка информации необходимо в том числе хорошо сформированное
вероятностное и статистическое мышление.
Именно поэтому остро встала необходимость сформировать у
обучающихся функциональную грамотность, включающую в себя в качестве
неотъемлемой составляющей умение воспринимать и критически анализировать
информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный
характер многих реальных процессов и зависимостей, производить простейшие
вероятностные расчёты.
Знакомство в учебном курсе с основными принципами сбора, анализа и
представления данных из различных сфер жизни общества и государства
приобщает обучающихся к общественным интересам. Изучение основ
комбинаторики развивает навыки организации перебора и подсчёта числа
вариантов, в том числе в прикладных задачах. Знакомство с основами теории
графов создаёт математический фундамент для формирования компетенций в
области информатики и цифровых технологий. При изучении статистики и
вероятности обогащаются представления обучающихся о современной картине
мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как
источника социально значимой информации и закладываются основы
вероятностного мышления.
В соответствии с данными целями в структуре программы учебного курса
«Вероятность и статистика» основного общего образования выделены
следующие содержательно-методические линии: «Представление данных и
описательная статистика», «Вероятность», «Элементы комбинаторики»,
«Введение в теорию графов».
Содержание линии «Представление данных и описательная статистика»
служит основой для формирования навыков работы с информацией: от чтения и
интерпретации информации, представленной в таблицах, на диаграммах и
графиках, до сбора, представления и анализа данных с использованием
статистических характеристик средних и рассеивания. Работая с данными,
обучающиеся учатся считывать и интерпретировать данные, выдвигать,
аргументировать и критиковать простейшие гипотезы, размышлять над
факторами, вызывающими изменчивость, и оценивать их влияние на
рассматриваемые величины и процессы.
Интуитивное представление о случайной изменчивости, исследование
закономерностей и тенденций становится мотивирующей основой для изучения
теории вероятностей. Большое значение имеют практические задания, в
частности опыты с классическими вероятностными моделями.
В составе классов наряду с нормотипичными детьми обучаются дети с
ОВЗ (ЗПР). Для удовлетворения особых образовательных потребностей
обучающихся с ОВЗ требуется создание
специальных условий,
обеспечивающих качество их образования:
- организация образовательного процесса на наглядно-действенной основе
с соблюдением основных дидактических принципов (доступности, наглядности,
прочности, связи теории с практикой);
- организация на уроках предметно-практической деятельности;
- использование дробного, поэтапного преподавания учебного материала и
аналитико-синтетический способ его показа;
- опора на ранее усвоенный материал и практический опыт учащихся;
- фиксация внимания на выявлении причинно-следственных связей и
закономерностей;
- акцент на главном при формулировании правил и выводов;
- достаточное количество практических упражнений для усвоения
учебного материала;
- включение изучаемого материала в различные виды упражнений;
- обеспечение наглядности в процессе усвоения знаний;
- привлечение детей к участию в общешкольных мероприятиях и
внеурочной деятельности по предмету.
Обязательное предметное содержание по Вероятности и статистике для
школьников обучающихся по АООП (ЗПР) полностью сопоставимо с
содержанием ООП.
Обучающийся с ОВЗ (ЗПР) получает образование, полностью
соответствующее, по итоговым достижениям к моменту завершения обучения,
образованию сверстников без ограничений по возможностям здоровья, в те же
сроки обучения (является цензовым).
Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия случайного
события. При изучении учебного курса обучающиеся знакомятся с простейшими
методами вычисления вероятностей в случайных экспериментах с
равновозможными элементарными исходами, вероятностными законами,
позволяющими ставить и решать более сложные задачи. В учебный курс входят
начальные представления о случайных величинах и их числовых
характеристиках.
В рамках учебного курса осуществляется знакомство обучающихся с
множествами и основными операциями над множествами, рассматриваются
примеры применения для решения задач, а также использования в других
математических курсах и учебных предметах.
В 7–9 классах изучается учебный курс «Вероятность и статистика», в
который входят разделы: «Представление данных и описательная статистика»,
«Вероятность», «Элементы комбинаторики», «Введение в теорию графов».
На изучение учебного курса «Вероятность и статистика» отводится 102
часа: в 7 классе – 34 часа (1 час в неделю), в 8 классе – 34 часа (1 час в неделю), в
9 классе – 34 часа (1 час в неделю).
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
7 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение
таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и круговых).
Чтение графиков реальных процессов. Извлечение информации из диаграмм и
таблиц, использование и интерпретация данных.
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах,
наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных. Примеры
случайной изменчивости.
Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и
частота. Роль маловероятных и практически достоверных событий в природе и в
обществе. Монета и игральная кость в теории вероятностей.
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рёбер и суммарная
степень вершин. Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в
графах. Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориентированном графе.
Решение задач с помощью графов.
8 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Множество, элемент множества, подмножество. Операции над
множествами: объединение, пересечение, дополнение. Свойства операций над
множествами: переместительное, сочетательное, распределительное, включения.
Использование графического представления множеств для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач.
Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение
числовых наборов. Диаграмма рассеивания.
Элементарные события случайного опыта. Случайные события.
Вероятности событий. Опыты с равновозможными элементарными событиями.
Случайный выбор. Связь между маловероятными и практически достоверными
событиями в природе, обществе и науке.
Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существование висячей
вершины, связь между числом вершин и числом рёбер. Правило умножения.
Решение задач с помощью графов.
Противоположные события. Диаграмма Эйлера. Объединение и
пересечение событий. Несовместные события. Формула сложения вероятностей.
Условная вероятность. Правило умножения. Независимые события.
Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач на нахождение
вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента, диаграмм Эйлера.
9 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация
данных. Чтение и построение таблиц, диаграмм, графиков по реальным данным.
Перестановки и факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Решение задач с использованием комбинаторики.
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка и из дуги окружности.
Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха. Серия
испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
Случайная величина и распределение вероятностей. Математическое
ожидание и дисперсия. Примеры математического ожидания как теоретического
среднего значения величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины «число успехов в серии испытаний Бернулли».
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью
частот. Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ
УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» НА
УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного курса
«Вероятность и статистика» характеризуются:
1) патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской
математики, ценностным отношением к достижениям российских
математиков и российской математической школы, к использованию этих
достижений в других науках и прикладных сферах;
2) гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации
его прав, представлением о математических основах функционирования
различных структур, явлений, процедур гражданского общества
(например, выборы, опросы), готовностью к обсуждению этических
проблем, связанных с практическим применением достижений науки,
осознанием важности морально-этических принципов в деятельности
учёного;
3) трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач
математической направленности, осознанием важности математического
образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной
деятельности и развитием необходимых умений, осознанным выбором и
построением индивидуальной траектории образования и жизненных
планов с учётом личных интересов и общественных потребностей;
4) эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию
математических объектов, задач, решений, рассуждений, умению видеть
математические закономерности в искусстве;
5) ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных
представлений об основных закономерностях развития человека, природы
и общества, пониманием математической науки как сферы человеческой
деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации,
овладением языком математики и математической культурой как
средством познания мира, овладением простейшими навыками
исследовательской деятельности;
6) физическое воспитание, формирование культуры здоровья и
эмоционального благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего
здоровья, ведения здорового образа жизни (здоровое питание,
сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая
активность), сформированностью навыка рефлексии, признанием своего
права на ошибку и такого же права другого человека;
7) экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения
задач в области сохранности окружающей среды, планирования поступков
и оценки их возможных последствий для окружающей среды, осознанием
глобального характера экологических проблем и путей их решения;
8) адаптация к изменяющимся условиям социальной и
природной среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, повышению
уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том
числе умение учиться у других людей, приобретать в совместной
деятельности новые знания, навыки и компетенции из опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, в том числе
формулировать идеи, понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том
числе ранее неизвестных, осознавать дефициты собственных знаний и
компетентностей, планировать своё развитие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать
стрессовую ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать
принимаемые решения и действия, формулировать и оценивать риски и
последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки
математических объектов, понятий, отношений между понятиями,
формулировать определения понятий, устанавливать существенный
признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии
проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и
противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать
критерии для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных
и индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
разбирать доказательства математических утверждений
(прямые и от противного), проводить самостоятельно несложные
доказательства математических фактов, выстраивать аргументацию,
приводить примеры и контрпримеры, обосновывать собственные
рассуждения;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать
несколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент
познания, формулировать вопросы, фиксирующие противоречие,
проблему, самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать
гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
проводить
по
самостоятельно
составленному
плану
несложный эксперимент, небольшое исследование по установлению
особенностей математического объекта, зависимостей объектов между
собой;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по
результатам проведённого наблюдения, исследования, оценивать
достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также
выдвигать предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять недостаточность и избыточность информации,
данных, необходимых для решения задачи;
выбирать,
анализировать,
систематизировать
и
интерпретировать информацию различных видов и форм представления;
выбирать
форму
представления
информации
и
иллюстрировать решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой
и их комбинациями;
оценивать
надёжность
информации
по
критериям,
предложенным учителем или сформулированным самостоятельно.
Коммуникативные универсальные учебные действия:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с
условиями и целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку
зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения
задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу
обсуждаемой темы, проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи,
нацеленные на поиск решения, сопоставлять свои суждения с суждениями
других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в
корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента,
исследования, проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с
учётом задач презентации и особенностей аудитории;
понимать и использовать преимущества командной и
индивидуальной работы при решении учебных математических задач;
принимать цель совместной деятельности, планировать
организацию
совместной
работы,
распределять
виды
работ,
договариваться, обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения
нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен
мнениями, мозговые штурмы и другие), выполнять свою часть работы и
координировать свои действия с другими членами команды, оценивать
качество своего вклада в общий продукт по критериям,
сформулированным участниками взаимодействия.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи
(или его часть), выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и
собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты
решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и
результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при
решении задачи, вносить коррективы в деятельность на основе новых
обстоятельств, найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата деятельности поставленной
цели и условиям, объяснять причины достижения или недостижения цели,
находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 7 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах,
представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые
(столбчатые) и круговые) по массивам значений.
Описывать и интерпретировать реальные числовые данные,
представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
Использовать для описания данных статистические характеристики:
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения,
размах.
Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен,
физических величин, антропометрических данных, иметь представление о
статистической устойчивости.
К концу обучения в 8 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде
таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц,
диаграмм, графиков.
Описывать данные с помощью статистических показателей: средних
значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное
отклонение).
Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том
числе по результатам измерений и наблюдений.
Находить вероятности случайных событий в опытах, зная
вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с
равновозможными элементарными событиями.
Использовать
графические
модели:
дерево
случайного
эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая.
Оперировать понятиями: множество, подмножество, выполнять
операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение,
перечислять элементы множеств, применять свойства множеств.
Использовать графическое представление множеств и связей между
ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении задач
из других учебных предметов и курсов.
К концу обучения в 9 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в
различных источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять
данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с
использованием комбинаторных правил и методов.
Использовать описательные характеристики для массивов числовых
данных, в том числе средние значения и меры рассеивания.
Находить частоты значений и частоты события, в том числе
пользуясь результатами проведённых измерений и наблюдений.
Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в
том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в
сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
Иметь представление о случайной величине и о распределении
вероятностей.
Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении
закономерности в случайной изменчивости и о роли закона больших чисел
в природе и обществе.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
7 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Наименование разделов и тем
программы
1
Представление данных
7
2
https://m.edsoo.ru/89N37X69O
2
Описательная статистика
8
1
https://m.edsoo.ru/1LSV4LDNF
3
Случайная изменчивость
6
1
https://m.edsoo.ru/GWRMYO3Z
0
4
Введение в теорию графов
4
5
Вероятность и частота случайного
события
4
6
Обобщение, систематизация знаний
5
2
34
2
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
8 КЛАСС
Всего
Контрол
ьные
работы
Практи
ческие
работы
Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы
https://m.edsoo.ru/ZC1IM6K65
1
https://m.edsoo.ru/H3K1S5MAW
https://m.edsoo.ru/LFUSEKR5F
5
Количество часов
№
п/п
Наименование разделов и тем
программы
1
Повторение курса 7 класса
4
https://m.edsoo.ru/X3FZS77JT
2
Описательная статистика. Рассеивание
данных
4
https://m.edsoo.ru/8DX3YEE7C
3
Множества
4
https://m.edsoo.ru/5GSLMI7R3
4
Вероятность случайного события
6
5
Введение в теорию графов
4
https://m.edsoo.ru/4OG4X25TN
6
Случайные события
8
https://m.edsoo.ru/F5E58710K
7
Обобщение, систематизация знаний
4
2
34
2
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
Всего
Контрол
ьные
работы
Практи
ческие
работы
1
Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы
https://m.edsoo.ru/LU8YQKXOL
https://m.edsoo.ru/I37K3MSIF
1
9 КЛАСС
Количество часов
№
п/
п
Наименование разделов и тем
программы
1
Повторение курса 8 класса
4
2
Элементы комбинаторики
4
3
Геометрическая вероятность
4
4
Испытания Бернулли
6
5
Случайная величина
6
6
Обобщение, контроль
10
1
34
1
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
Всего
Контрол
ьные
работы
Практи
ческие
работы
Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы
https://m.edsoo.ru/F1SB2Q6TK
1
https://m.edsoo.ru/OTVIFYM08
https://m.edsoo.ru/JRA02MMJ7
1
https://m.edsoo.ru/PVPMDGFCN
https://m.edsoo.ru/PC35FWECN
https://m.edsoo.ru/BBFTYCMQ0
2
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
7 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
5
Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
программы основного общего образования
Вероятность и статистика
Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, представлять
5.1
данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые (столбчатые) и круговые)
по массивам значений
5.2
5.3
Описывать и интерпретировать реальные числовые данные, представленные в
таблицах, на диаграммах, графиках
Использовать для описания данных статистические характеристики: среднее
арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах
Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен, физических
5.4
величин, антропометрических данных, иметь представление о статистической
устойчивости
8 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
5
5.1
5.2
5.3
Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
программы основного общего образования
Вероятность и статистика
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц,
диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков
Описывать данные с помощью статистических показателей: средних значений и
мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное отклонение)
Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе по
результатам измерений и наблюдений
Находить
5.4
вероятности
случайных
событий
в
опытах,
зная
вероятности
элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными
событиями
5.5
Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы
Эйлера, числовая прямая
Оперировать понятиями: множество, подмножество; выполнять операции над
5.6
множествами: объединение, пересечение, дополнение; перечислять элементы
множеств, применять свойства множеств
Использовать графическое представление множеств и связей между ними для
5.7
описания процессов и явлений, в том числе при решении задач из других учебных
предметов и курсов
9 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
5
5.1
Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
программы основного общего образования
Вероятность и статистика
Извлекать
и
преобразовывать
информацию,
представленную
в
различных
источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц,
диаграмм, графиков
5.2
5.3
5.4
Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с использованием
комбинаторных правил и методов
Использовать описательные характеристики для массивов числовых данных, в том
числе средние значения и меры рассеивания
Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь результатами
проведённых измерений и наблюдений
Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в
5.5
опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях испытаний до
первого успеха, в сериях испытаний Бернулли
5.6
5.7
Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей
Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении закономерности в
случайной изменчивости и о роли закона больших чисел в природе и обществе
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
7 КЛАСС
Код
Проверяемый элемент содержания
5
Вероятность и статистика
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение таблиц, чтение и
5.1
построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и круговых). Чтение графиков
реальных процессов. Извлечение информации из диаграмм и таблиц, использование и
интерпретация данных
5.2
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах, наибольшее и
наименьшее значения набора числовых данных. Примеры случайной изменчивости
Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и частота. Роль
5.3
маловероятных и практически достоверных событий в природе и в обществе. Монета и
игральная кость в теории вероятностей
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рёбер и суммарная степень вершин.
5.4
Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в графах. Обход графа (эйлеров
путь). Представление об ориентированном графе. Решение задач с помощью графов
8 КЛАСС
Код
Проверяемый элемент содержания
5
Вероятность и статистика
5.1
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков
5.2
Множество,
элемент
множества,
подмножество.
Операции
над
множествами:
объединение, пересечение, дополнение
Свойства
5.3
операций
над
множествами:
переместительное,
сочетательное,
распределительное, включения
Использование графического представления множеств
5.4
для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач.
Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение числовых
5.5
наборов. Диаграмма рассеивания
Элементарные события случайного опыта. Случайные события. Вероятности событий.
Опыты с равновозможными элементарными событиями. Случайный выбор. Связь между
5.6
маловероятными и практически достоверными событиями в природе, обществе и науке
Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существование висячей вершины,
связь между числом вершин и числом рёбер. Правило умножения. Решение задач с
5.7
помощью графов
Противоположные события. Диаграмма Эйлера. Объединение и пересечение событий.
5.8
Несовместные события. Формула сложения вероятностей
Условная вероятность. Правило умножения. Независимые события
5.9
Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач на нахождение вероятностей
5.10
с помощью дерева случайного эксперимента, диаграмм Эйлера
9 КЛАСС
Код
5
5.1
Проверяемый элемент содержания
Вероятность и статистика
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация данных. Чтение
и построение таблиц, диаграмм, графиков по реальным данным
5.2
Перестановки и факториал
5.3
Сочетания и число сочетаний
5.4
Треугольник Паскаля. Решение задач с использованием комбинаторики
5.5
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка и
из дуги окружности
5.6
Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха
5.7
Серия испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли
5.8
Случайная величина и распределение вероятностей
5.9
5.10
5.11
Математическое ожидание и дисперсия. Примеры математического ожидания как
теоретического среднего значения величины
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины «число успехов в серии
испытаний Бернулли»
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью частот. Роль и
значение закона больших чисел в природе и обществе
ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К
РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код
проверяемого
требования
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной
образовательной программы основного общего образования на основе ФГОС
Умение оперировать понятиями: множество, подмножество, операции над
множествами; умение оперировать понятиями: граф, связный граф, дерево, цикл,
применять их при решении задач; умение использовать графическое представление
множеств для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из
других учебных предметов
Умение оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема, доказательство;
умение распознавать истинные и ложные высказывания, приводить примеры и
контрпримеры, строить высказывания и отрицания высказываний
Умение оперировать понятиями: натуральное число, простое и составное число,
делимость натуральных чисел, признаки делимости, целое число, модуль числа,
обыкновенная дробь и десятичная дробь, стандартный вид числа, рациональное
число, иррациональное число, арифметический квадратный корень; умение
выполнять действия с числами, сравнивать и упорядочивать числа, представлять
числа на координатной прямой, округлять числа; умение делать прикидку и оценку
результата вычислений
Умение оперировать понятиями: степень с целым показателем, арифметический
квадратный корень, многочлен, алгебраическая дробь, тождество; знакомство с
корнем натуральной степени больше единицы; умение выполнять расчёты по
формулам, преобразования целых, дробно-рациональных выражений и выражений с
корнями, разложение многочлена на множители, в том числе с использованием
формул разности квадратов и квадрата суммы и разности
Умение оперировать понятиями: числовое равенство, уравнение с одной
переменной, числовое неравенство, неравенство с переменной; умение решать
линейные и квадратные уравнения, дробно-рациональные уравнения с одной
переменной, системы двух линейных уравнений, линейные неравенства и их
системы, квадратные и дробно-рациональные неравенства с одной переменной, в
том числе при решении задач из других предметов и практических задач; умение
использовать координатную прямую и координатную плоскость для изображения
решений уравнений, неравенств и систем
Умение оперировать понятиями: функция, график функции, нули функции,
промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания, убывания, наибольшее и
наименьшее значения функции; умение оперировать понятиями: прямая
пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, обратная
пропорциональность, парабола, гипербола; умение строить графики функций,
использовать графики для определения свойств процессов и зависимостей, для
решения задач из других учебных предметов и реальной жизни; умение выражать
формулами зависимости между величинами
Умение оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и
геометрическая прогрессии; умение использовать свойства последовательностей,
формулы суммы и общего члена при решении задач, в том числе задач из других
учебных предметов и реальной жизни
Умение решать задачи разных типов (в том числе на проценты, доли и части,
движение, работу, цену товаров и стоимость покупок и услуг, налоги, задачи из
области управления личными и семейными финансами); умение составлять
выражения, уравнения, неравенства и системы по условию задачи, исследовать
полученное решение и оценивать правдоподобность полученных результатов
Умение оперировать понятиями: фигура, точка, отрезок, прямая, луч, ломаная, угол,
многоугольник, треугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники,
10
11
12
13
14
15
16
прямоугольный треугольник, медиана, биссектриса и высота треугольника,
четырёхугольник, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция;
окружность, круг, касательная; знакомство с пространственными фигурами; умение
решать задачи, в том числе из повседневной жизни, на нахождение геометрических
величин с применением изученных свойств фигур и фактов
Умение оперировать понятиями: равенство фигур, равенство треугольников;
параллельность и перпендикулярность прямых, угол между прямыми,
перпендикуляр, наклонная, проекция, подобие фигур, подобные треугольники,
симметрия относительно точки и прямой; умение распознавать равенство,
симметрию и подобие фигур, параллельность и перпендикулярность прямых в
окружающем мире
Умение оперировать понятиями: длина, расстояние, угол (величина угла, синус и
косинус угла треугольника), площадь; умение оценивать размеры предметов и
объектов в окружающем мире; умение применять формулы периметра и площади
многоугольников, длины окружности и площади круга, объема прямоугольного
параллелепипеда; умение применять признаки равенства треугольников, теорему о
сумме углов треугольника, теорему Пифагора, тригонометрические соотношения
для вычисления длин, расстояний, площадей
Умение изображать плоские фигуры и их комбинации, пространственные фигуры от
руки, с помощью чертёжных инструментов и электронных средств по текстовому
или символьному описанию
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат; координаты
точки, вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, скалярное
произведение векторов; умение использовать векторы и координаты для
представления данных и решения задач, в том числе из других учебных предметов и
реальной жизни
Умение оперировать понятиями: столбиковые и круговые диаграммы, таблицы,
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах
числового набора; умение извлекать, интерпретировать и преобразовывать
информацию, представленную в таблицах и на диаграммах, отражающую свойства
и характеристики реальных процессов и явлений; умение распознавать изменчивые
величины в окружающем мире
Умение оперировать понятиями: случайный опыт (случайный эксперимент),
элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта, случайное событие,
вероятность события; умение находить вероятности случайных событий в опытах с
равновозможными элементарными событиями; умение решать задачи методом
организованного перебора и с использованием правила умножения; умение
оценивать вероятности реальных событий и явлений, понимать роль практически
достоверных и маловероятных событий в окружающем мире и в жизни; знакомство
с понятием независимых событий; знакомство с законом больших чисел и его
ролью в массовых явлениях
Умение выбирать подходящий изученный метод для решения задачи, приводить
примеры математических закономерностей в природе и жизни, распознавать
проявление законов математики в искусстве, описывать отдельные выдающиеся
результаты, полученные в ходе развития математики как науки, приводить примеры
математических открытий и их авторов в отечественной и всемирной истории
ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА
ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
Код
1
1.1
1.2
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические
дроби
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
3.2
3.3
4
4.1
4.2
5
5.1.
6
6.1
6.2
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Рациональные числа. Арифметические операции с рациональными числами
Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами
Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка
результата вычислений
Алгебраические выражения
Буквенные выражения (выражения с переменными)
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства
степени
Многочлены
Алгебраическая дробь
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
Уравнения и неравенства
Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений
Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности
неравенств
Решение текстовых задач
Числовые последовательности
Последовательности, способы задания последовательностей
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
Функции
Функция, способы задания функции. График функции. Область определения и
множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства.
Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции.
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Координаты на прямой и плоскости
Координатная прямая
Декартовы координаты на плоскости
Геометрия
Геометрические фигуры и их свойства
Треугольник
Многоугольники
Окружность и круг
Измерение геометрических величин
Векторы на плоскости
Вероятность и статистика
Описательная статистика
Вероятность
Комбинаторика
Множества
Графы
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы» (авторы:
И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко; под ред. И. В. Ященко)
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Методическое пособие к учебнику «Вероятность и статистика. 7–
9 классы» (И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко)
Поурочные разработки для курса «Вероятность и статистика» (7–
9 классы).
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ
СЕТИ ИНТЕРНЕТ
Портал «Единое содержание общего образования» (edsoo.ru).
Российская электронная школа (РЭШ)
Банк заданий ФИПИ (fipi.ru)
